Խորանարդի և ուղղանկյունանիստի մակերևույթների մակերեսները

Ուղղանկյունանիստի մակերևույթը բաղկացած է 6 ուղղանկյունաձև նիստերից՝ 4 կողմնային նիստերից և 2 հիմքերից:

Հանդիպակաց նիստերն իրար հավասար են, հետևաբար հավասար են նաև նրանց մակերեսները:

Ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է նրա բոլոր նիստերի մակերեսների գումարին:

Ուստի, այն հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝

Sլրիվ=Sկողմն+2⋅Sհիմք

Վերևի նկարից երևում է, որ (հանդիպակաց նիստերը հավասար են)

Sկողմն=2ac+2bc

Sհիմք=ab

Գումարելով այս բանաձևերը (հաշվի առնելով, որ ուղղանկյունանիստն ունի 2 հիմք), ստանում ենք ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսի բանաձևը՝

Sլրիվ=2⋅(ab+ac+bc),

որտեղ a-ն, b-ն և c-ն ուղղանկյունանիստի չափումներն են:

Ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր կողերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ:

Խորանարդի նիստերը իրար հավասար 6 քառակուսիներ են (a=b=c)

Խորանարդի դեպքում լրիվ մակերևույթի մակերեսի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը․

S=6a²

Առաջադրանքներ․

1.Հաշվիր խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողը 2,1 սմ է:
S=6a²=6×2,1²=26,46

2.Գտեք այն խորանարդի նիստի մակերեսը,որի մակերևույթի մակերեսը հավասար է 24սմ² :Կարո՞ղ եք գտնել այդ խորանարդի կողը։
24:6=4
4:2=2

3.Ուղղանկյունանիստի հիմքը a=6սմ և b=7սմ կողմերով ուղղանկյուն է, իսկ կողմնային կողը՝ c=8սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյունանիստի`

ա) հիմքի մակերեսը

բ) կողմնային մակերևույթի մակերեսը

գ) լրիվ մակերևույթի մակերեսը․

4. Ուղղանկյունանիստի հիմքը 8 սմ կողմով քառակուսի է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է 112 սմ² ։ Գտեք ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1.Հաշվիր խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողը 3,5 մ է:
S=6a²=6×3,5²=6×12,25=73,5

2.Գտեք այն խորանարդի նիստի մակերեսը, որի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է 150 դմ² :Կարո՞ղ եք գտնել այդ խորանարդի կողը։
150:6=25
5×5=25

3. Ուղղանկյունանիստի հիմքը 24 սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ կողմնային կողը հավասար է 5,5 սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյունանիստի

ա) կողմնային մակերևույթի մակերեսը

բ) լրիվ մակերևույթի մակերեսը

Սեղանի մակերեսը

Սեղանի մակերեսը հավասար է հիմքերի կիսագումարի և բարձրության արտադրյալին:

S=1/2(AD+BC)BH

Առաջադրանքներ․

1.ABCD սեղանի AD և BC հիմքերը համապատասխանաբար 10սմ և 8 սմ են: ACD եռանկյան մակերեսը 30սմ² է: Գտեք սեղանի մակերեսը:
S_ACD=30
CE=30:10=3
S_ABC=(8+10):2×3=27

2.Ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը 30սմ² է, պարագիծը՝ 28սմ, իսկ փոքր սրունքը՝ 3սմ: Գտեք սեղանի մեծ սրունքը:

3.Գտեք այն ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը, որի փոքր կողմերը 6սմ են, իսկ մեծ անկյունը՝ 135^o:

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1.Գտեք AD և BC հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե՝

ա) AD=21սմ, BC=17սմ, BH բարձրությունը 7սմ է,
S_ACD=(AD+BC):2xCE=17+21:2×7=38:2×7=

բ) <D=30^o, AD=10սմ, BC=2սմ, CD=8սմ,
<D=30^o CE=4 S_ABCD=(AD+BC):2xCE=(10+2):2×4=24

գ) CD⊥AD, AD=5սմ, CD=8սմ, BC=13սմ:
S_ABCD=(13+5):2×8=72

2.Հավասարասրուն սեղանի պարագիծը 32սմ է, սրունքը՝ 5սմ, իսկ մակերեսը՝ 44սմ²: Գտեք սեղանի բարձրությունը:
AD+BC=32-10=22
22:2xCE=44
CE=44:11
CE=4

3.Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյունը 135^o է, իսկ այդ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը մեծ հիմքը տրոհում է 1,4սմ և 3,4սմ հատվածների։ Գտեք սեղանի մակերեսը։

Եռանկյան մակերեսը

1)

S=x_^.y
S=2x_^.y
Մի եռանկյան մակերեսը մյուսից մեծ է 2 անգամ

2)

3)

10²=x²+y²
100=6²+8²
S=6×8:2=24

4)

5)

S_ABC=ABxAM=18×12=216
S_AMC=216:2=108

Զուգահեռագծի և շեղանկյան մակերեսը

Առաջադրանքներ․

1)Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30^օ է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2 սմ և 3 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։
Քանի որ <A=30^օ ապա ABE ուղղանկյուն եռանկյան մեջ BE=AB-ի կեսին, AB=2BE=4 S=3×4=12

2)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 40 սմ² է, իսկ կողմերը՝ 10 սմ և 8 սմ։

3)Քառակուսին և քառակուսի չհանդիսացող շեղանկյունն ունեն հավասար պարագծեր։ Համեմատեք այդ պատկերների մակերեսները։

4)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 20 սմ² է, իսկ բութ անկյան գագաթից կողմերից մեկին տարված բարձրությունը այդ կողմը տրոհում է 2 սմ և 8 սմ երկարությամբ հատվածների՝ սկսած սուր անկյան գագաթից։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Համեմատեք ուղղանկյան և զուգահեռագծի մակերեսները, եթե նրանք ունեն հավասար հիմքեր և հավասար պարագծեր։

2)ABCD զուգահեռագծի B անկյունը բութ է։ AD կողմի շարունակության վրա՝ D կետից դեպի աջ նշված է E կետն այնպես, որ <ECD = 60^o, <CED = 90^o, AB = 4 սմ, AD = 10 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։
Քանի որ DCE եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է հետևաբար CE=AD:2=4:2=2
S=CExAD=2×10=20

3)MPKT զուգահեռագծի MT կողմի վրա նշված է E կետը, <PEM = 90^o , <EPT = 45^o , ME = 4 սմ, ET = 7 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։
Եռանկյուն PET-i մեջ <PTE=180-90+45=45^օ հետևաբար PE=ET=7
S=MTxPE=11×7=77

Զուգահեռագծի և շեղանկյան մակերեսը

Առաջադրանքներ․

1)Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30^օ է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2 սմ և 3 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

2)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 40 սմ² է, իսկ կողմերը՝ 10 սմ և 8 սմ։

3)Քառակուսին և քառակուսի չհանդիսացող շեղանկյունն ունեն հավասար պարագծեր։ Համեմատեք այդ պատկերների մակերեսները։

4)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 20 սմ² է, իսկ բութ անկյան գագաթից կողմերից մեկին տարված բարձրությունը այդ կողմը տրոհում է 2 սմ և 8 սմ երկարությամբ հատվածների՝ սկսած սուր անկյան գագաթից։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Համեմատեք ուղղանկյան և զուգահեռագծի մակերեսները, եթե նրանք ունեն հավասար հիմքեր և հավասար պարագծեր։

2)ABCD զուգահեռագծի B անկյունը բութ է։ AD կողմի շարունակության վրա՝ D կետից դեպի աջ նշված է E կետն այնպես, որ <ECD = 60^o, <CED = 90^o, AB = 4 սմ, AD = 10 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

3)MPKT զուգահեռագծի MT կողմի վրա նշված է E կետը, <PEM = 90^o , <EPT = 45^o , ME = 4 սմ, ET = 7 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

Զուգահեռագծի և շեղանկյան մակերեսը

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմի և նրան տարված բարձրության արտադրյալին:

Զուգահեռագծի բարձրությունը ուղղահայացն է, որը տարված է զուգահեռագծի կողմի ցանկացած կետից դեպի հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղիղը:

Սովորաբար ուղղահայացը տանում են զուգահեռագծի գագաթից: Քանի որ զուգահեռագիծն ունի տարբեր երկարությամբ կողմերի երկու զույգ, ապա այն ունի տարբեր երկարությամբ երկու բարձրություն: 

BE բարձրությունը, որը տարված է երկու մեծ կողմերի միջև ավելի կարճ է, քան BF-ը, որը տարված է կարճ կողմերի միջև:  

Եթե a-ով նշանակել կողմը, իսկ h-ով բարձրությունը, ապա՝

Զուգահեռագիծ=a⋅h

Շեղանկյան մակերեսը․

Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և հատման կետով կիսվում են: Շեղանկյունը բաժանվում է չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների:

Շեղանկյան մակերեսի բանաձևը․

Sշեղանկյուն=d1⋅d2/2

Առաջադրանքներ․

1)Դիցուք՝ զուգահեռագծի հիմքը a-ն է, բարձրությունը՝ h-ը, իսկ մակերեսը՝ S-ը։ Գտեք՝

ա)S-ը, եթե a=15 սմ, h=12 սմ=180

բ)a-ն, եթե S=34 սմ² , h=8,5 սմ=

գ)h-ը, եթե S=162 սմ², a=9 սմ

դ)a-ն, եթե h=1/2a, S=21a

2)Զուգահեռագծի անկյունագիծը 13 սմ է և ուղղահայաց է զուգահեռագծի այն կողմին, որը 12 սմ է։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

3)Զուգահեռագծի կից կողմերը հավասար են 12 սմ և 13 սմ, իսկ սուր անկյունը 30^o է։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

4)Շեղանկյան կողմը 6 սմ է, իսկ անկյուններից մեկը՝ 150^o ։ Գտեք շեղանկյան մակերեսը։

5)Զուգահեռագծի կողմը 8,1 սմ է, իսկ 14 սմ-ի հավասար անկյունագիծը նրա հետ կազմում է 30^o անկյուն։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

6)Դիցուք՝ a-ն և b-ն զուգահեռագծի կից կողմերն են, իսկ h₁-ը և h₂ -ը՝ բարձրությունները։ Գտեք՝

ա)h₂ -ը, եթե a=18 սմ, b=30 սմ, h₁ = 6 սմ, h₂ > h₁

բ)h₁ -ը, եթե a=10 սմ, b=15 սմ, h₂ =6 սմ, h₂ > h₁

գ)h₁ -ը և h₂ -ը, եթե մակերեսը՝ S=54 սմ² , a=4,5 սմ, b=6 սմ

Պատկերացում գլանի մասին

Գլան կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁O₁O ուղղանկյունը իր կողմերից որևէ մեկի, օրինակ՝ OO₁-ի շուրջ: Նույն գլանը կարելի է ստանալ՝ պտտելով AA₁B₁B ուղղանկյունն իր հանդիպակաց կողմերի միջնակետերով անցնող OO₁ ուղղի շուրջ:

OO₁ ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, AA₁-ը և BB₁-ը՝ ծնորդներ: Գլանի H բարձրությունը հավասար է OO₁=AA₁=BB₁ հատվածներից յուրաքանչյուրին:

Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր:

Գլանի R=OA=OB շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի շառավիղը:

Գլանի առանցքով անցնող հարթության և գլանի ընդհանուր մասը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ: Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է: Վերևի նկարում դա AA₁B₁B ուղղանկյունն է:

Առաջադրանքներ․

1)Գլանաձև բաժակը կիսով չափ լցված է թեյով։Գոլորշիանալուց հետո թեյի հետքը մնացել էր բաժակի պատերին։ Երկրաչափական ի՞նչ պատկեր է այդ հետքը։ Շրջան

2)Գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է։ Գտեք գլանի ծնորդի և շառավիղի երկարությունների հարաբերությունը։ Շառավիղը ծնորդի կեսն է։

3)Գլանի առանցքային հատույթը 40 սմ պարագծով մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են։ Գտեք գլանի շառավիղը։

4)Գլանի առանցքային հատույթը մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագիծը ծնորդ հանդիսացող կողմի հետ կազմում է 60^o -ի անկյուն։ Գտեք այդ անկյունագիծը, եթե գլանի ծնորդի երկարությունը 6 սմ է։
AA1B1 Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ A1B1=2AA1

Քառանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագիծ

1)Շրջանագծին ներգծած է ABCD քառանկյունը, որի մեջ <A=104^o և <B=71^o։ Գտեք անկյուններ C-ն և D-ն։
<C=180-104=76
<D=180-71=109

2)Արդյոք կարելի՞ է տրված ABCD քառանկյանը արտագծել շրջանագիծ, եթե՝

ա)<A=64^o, <B=95^o, <C=106^o ոչ <A+<C հավասար չէ 180

բ)<A=72^o, <B=69^o, <D=111^o Այո

գ)<A=90^o, <C=90^o, <D=80^o Այո

դ)<A=2α, <B=5α^o, <C=7α^o ,<D=4α Այո

3)

<M=180-53=127
<N=180-75=105

4)Տրված է MK+EF=40: P_MEFK -?

P=MK+EF+ME+KF=40+40=80

5)Տրված է NE=MF:  EF+MN -?

Եռանկյանը ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր

Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:

Շրջանագծի կենտրոնը հավասարահեռ է բազմանկյան բոլոր գագաթներից, հետևաբար այն գտնվում է բազմանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետում:

Ոչ բոլոր բազմանկյուններն ունեն արտագծյալ շրջանագիծ՝ հաճախ բազմանկյան համար գոյություն չի ունենում այնպիսի շրջանագիծ, որը կանցնի բազմանկյան բոլոր գագաթներով:  

Քանի որ եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի արտագծյալ շրջանագիծ: 

Սուրանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներսում (տես ներքևի նկարը):

Ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան ներքնաձիգի միջնակետում (տես ներքևի նկարը): 

Բութանկյուն եռանկյան դեպքում, արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյունից դուրս (տես ներքևի նկարը):

Ներգծյալ շրջանագիծ․

Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

Ներգծված շրջանագծի կենտրոնը պետք է հավասարահեռ լինի բազմանկյան կողմերից, այսինքն լինի կիսորդների հատման կետում:

Քանի որ եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են նույն կետում, ապա ցանկացած եռանկյուն ունի ներգծյալ շրջանագիծ:

Քանի որ, ցանկացած եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են եռանկյան ներսում, ապա ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնը միշտ գտնվում է եռանկյան ներսում:

Առաջադրանքներ.

1.Նշիր եռանկյունները, որոնց արտագծված է շրջանագիծ:

2.Նշիր եռանկյունները, որոնց ներգծված է շրջանագիծ:

3. Եռանկյանը ներգծված է շրջանագիծ: Հաշվիր <COA, <AOB, <COB եթե ∢OMN=32° և ∢ONL=37°

360-69=291
∢MOC=291:2=145,5
∢MOA=32:2=16
∢AOC=145,5+16=161,5

4.Ներգծյալ շրջանագծի շոշափման կետում հավասարասրուն եռանկյան սրունքը տրոհվում է 3սմ և 4սմ երկարությամբ հատվածների՝ հաշված հիմքից։ Գտեք այդ եռանկյան պարագիծը։
AD=3սմ, DB=4սմ BK=4սմ, KC=3սմ
եռանկյուն ADON=եռանկյուն AOM հետևաբար AM=AD=3
MC=AM=3
P=AB+BC+AC=7+7+6=20

5.Գտեք 6 սմ և 8 սմ էջերով և 10 սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը

Ներգծյալ և կենտրոնային անկյուն

1)Ըստ գծագրերի տվյալների՝ գտեք x-ը․

ա)

360-232=128
x=128:2=64

բ)

125+60=185
x=360-185=175

գ)

180+112=292
x=360-292=68
x=68:2=34

դ)

215+40=255
x=360-255=105

2)AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են C և D կետերն այնպես, որ

∪AC=57^o, ∪BD=63^o   

ա․57+63=120
180-120=60
եռանկյուն COD-ն հավասարակողմ եռանկյուն է քանի որ <COD=60, հետևաբար <OCD=<CDO, CD=12

Գտեք CD լարը, եթե շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է։

3)AOB կենտրոնային անկյունը 30^o -ով մեծ է AB աղեղին հենված ներգծյալ անկյունից։ Գտեք այդ անկյուններից յուրաքանչյուրը:
x+x+x+30=180
3x=180-30=150
x=150:3=50